Exp

Експоненцијална функција

$e^x$

Експоненцијална функција је скоро равна (споро се пење) за негативне вредности x, а онда брзо расте за позитивне вредности x.

Својства

Употребом природног логаритма, може се дефинисати нешто генералнија експоненцијална функција. Функција

$a^x=e^{x\ln a}$

дефинисана за свако -{a}- > 0, и за сваки реалан број -{x}- се назива експоненцијална функција за основу -{a}-.

Приметимо да горња једнакост важи за -{a}- = -{e}-, пошто је

$e^{x\ln e}=e^{x\left(1\right)}=e^x.$

Експоненцијалне функције „сједињују“ сабирање и множење, што се види следећим експоненцијалним законима:

$a^0=1$

$a^1=a$

$a^{x+y}=a^x{a}^y$

$a^{xy}={\left(a^x\right)}^y$

$\frac{1}{a^x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$

$a^x{b}^x=(ab{)}^x$

Горње важи за све позитивне реалне бројеве -{a}- и -{b}-, и за све реалне бројеве -{x}- и -{y}-. Изрази који укључују разломке и кореновање често могу бити упрошћени коришћењем експоненцијалне нотације јер:

$\frac{1}{a}=a^{-1}$

и, за свако -{a}- > 0, реалан број -{b}-, и цео број -{n}- > 1:

$\sqrt[n]{a^b}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^b=a^{b/n}$

За сваку реалну константу -{c}- важи:

$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{ch}-1}{h}=c$

за $f(x)=e^{ch}$