Тетрикс

тетрикс

Сјерпињска пирамида заснована на квадрату и њена 'инверзна'

Сјерпињски тетраедар или тетрикс је тродимензионално аналогија троугла Сјерпињског, формирана у више наврата смањујући редовне тетраедре до једне половине првобитне висине, стављајући заједно четири копије овог тетраедра са додиривањем угловима, а затим поновити процес. Ово се може урадити са квадратном пирамидом и пет примерака. Тетрик конструисан од почетног тетраедра од стране дужине L има својство да укупна површина остаје константна са сваким понављањем. Шаблон:Илустрација

Почетни површина (верзија-0) тетраедар споредних дужина L је $L^2\sqrt{3}{L}^2\sqrt{3}$. На следећој верзији, страна дужине је преполовљена

$L\to \frac{L}{2}L\to \frac{L}{2}$

и постоје 4 таква мања тетраедра. Стога, укупна површина након прве верзије је:

$4\left({\left(\frac{L}{2}\right)}^2\sqrt{3}\right)=4\frac{L^2}{4}\sqrt{3}=L^2\sqrt{3}.4\left({\left(\frac{L}{2}\right)}^2\sqrt{3}\right)=4\frac{L^2}{4}\sqrt{3}=L^2\sqrt{3}$.

Ово остаје случај након сваког понављања. Иако је површина сваког следећег тетраедра 1/4 свих тетраедара у претходним понављањима, постоји 4 пута више-чиме се одржава константна укупна површина.

Укупан затворени волумен, међутим, геометријски се смањује (фактор 0,5) са сваким понављањем и асимптотски тежи 0 како се број итерација повећава. У ствари, може се показати да, иако имају фиксирану површину, немају 3-димензионални карактер. Хаусдорофова димензија такве конструкције је $ln4/ln2=2$ која се слаже са коначном области са слике (А Хаусдорфова димензија строго између 2. и 3. би указивала 0 волумен и бескрајно подручје.)

Погледајте такође

Троугао Сјерпињског

153 351 531